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cosx/sinx+cosx的不定積分 sinx cosx/√sinx-cosx的不定積分

cosx/sinx+cosx的不定積分是：∫(sinxcosx)/(sinx+cosx)dx=(1/2)(-cosx+sinx)-[1/(2√2)]ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+C。C為積分常數。

解答過程如下：

∫(sinxcosx)/(sinx+cosx)dx

=(1/2)∫(2sinxcosx)/(sinx+cosx)dx

=(1/2)∫[(1+2sinxcosx)-1]/(sinx+cosx)dx

=(1/2)∫(sin2x+2sinxcosx+cos2x)/(sinx+cosx)dx-(1/2)∫dx/(sinx+cosx)

=(1/2)∫(sinx+cosx)2/(sinx+cosx)dx-(1/2)∫dx/[√2sin(x+π/4)]

=(1/2)∫(sinx+cosx)dx-[1/(2√2)]∫csc(x+π/4)dx

=(1/2)(-cosx+sinx)-[1/(2√2)]ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+C

記作∫f(x)dx或者∫f（高等微積分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數或積分常量，求已知函數的不定積分的過程叫做對這個函數進行不定積分。如果f(x)在區間I上有原函數，即有一個函數F(x)使對任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么對任何常數顯然也有[F(x)+C]'=f(x)。即對任何常數C，函數F(x)+C也是f(x)的原函數。這說明如果f(x)有一個原函數,那么f(x)就有無限多個原函數。

設G(x)是f(x)的另一個原函數，即?x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一個區間上導數恒為零的函數必為常數，所以G(x)-F(x)=C’(C‘為某個常數）。

這表明G(x)與F(x)只差一個常數。因此,當C為任意常數時，表達式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一個原函數。也就是說f(x)的全體原函數所組成的集合就是函數族{F(x)+C+∞}。