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arctanx公式 arctanx公式計算

arctanx=1/(1+x2)。arctanx是正切函數，其定義域是｛x|x≠（π／2)+kπ，k∈Z}，值域是R。arctanx是反正切函數，其定義域是R，反正切函數的值域為（－π／2,π／2）。

推導過程：

設x=tant，則t=arctanx，兩邊求微分。

dx=[(cos2t+sin2t)/(cos2x)]dt。

dx=(1/cos2t)dt。

dt/dx=cos2t。

dt/dx=1/(1+tan2t)。

因為x=tant。

所以上式t'=1/(1+x2)。

反函數求導法則：

如果函數x=f(y)x=f(y)在區間IyIy內單調、可導且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函數y=f?1(x)y=f?1(x)在區間Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}內也可導，

[f?1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

[f?1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy。

這個結論可以簡單表達為：反函數的導數等于直接函數導數的倒數。

例：設x=siny，y∈[?π2,π2]x=siny，y∈[?π2,π2]為直接導數，則

y=arcsinxy=arcsinx是它的反函數，求反函數的導數。